Un peu de géométrie pyramidale

(Cet article fait partie d’une série dans laquelle je m’amuse à démonter les théories ésotériques avancées par Jacques Grimault, principalement dans La révélation des pyramides.)

En décortiquant un peu plus la théorie de Jacques Grimault, je réalise qu’on peut ramener la quasi-totalité des bizarreries géométriques de la grande pyramide de Khéops à deux aspects : le choix du seked et la conversion de la coudée royale en mètres.

Le seked magique

Un certain nombre de ces bizarreries découlent directement du choix de son seked de 5 ½ paumes (soit une pente de $28/22$ ou un angle d'environ $51.84$ degrés). Choix qui, je crois l'avoir montré, n’a absolument rien de mystérieux. Ce que ça signifie, concrètement, c’est que toutes les pyramides conçues avec la même pente — à commencer par celle de Meïdoum bien sûr puis, par exemple, celles de Mykérinos et de Niouserrê — présentent exactement les mêmes caractéristiques.

Considérez, par exemple, un modèle réduit de la grande pyramide d’une coudée royale de hauteur ($h$) — soit $28$ doigts — et avec un seked ($s$) de 5 ½ paumes — soit $22$ doigts. Voici à quoi ça ressemble en perspective cavalière :

Comme tous les pyramidologues depuis John Taylor en 1859 l’on noté :

« Le demi-périmètre de la base divisé par la hauteur donne $\pi$. »

C’est-à-dire qu’en notant $8s = 176 = P$ le périmètre de notre pyramide :

(1)

$$\frac{P/2}{h} = \frac{22}{7} \approx \pi$$

Ça fonctionne pour absolument toutes les pyramides conçues avec le même seked pour la bonne et simple raison que $22/7$ est une bonne approximation de $\pi$.

Notez aussi que l’affirmation selon laquelle :

« La hauteur de la pyramide est égale
au rayon du cercle de périmètre égal à celui de la base. »

… n’est qu’une variante de la précédente. En effet, le rayon ($r$) dudit cercle se calcule aisément :

$$r = \frac{P}{2\pi}$$

Or, vous pouvez réécrire (1) de la façon suivante :

$$h \approx \frac{P}{2\pi}$$

Ce qui revient exactement au même à l’approximation près (de fait, $r$ ne mesure pas $28$ mais un peu plus de $28.011$).

Par ailleurs, il se trouve aussi que :

« l’apothème d'une face divisée par une demie base
donne le nombre d’or ($\phi$). »

L’apothème ($a$) n’étant autre l’hypoténuse du triangle rectangle formé par notre seked, nous pouvons recourir aux services de Pythagore :

$$a = \sqrt{s^2+h^2}$$

Reste à diviser par $s$ :

(2)

$$ \frac{a}{s} = \frac{\sqrt{s^2+h^2}}{s} \approx \frac{35.6}{22} \approx \phi $$

L’égalité et encore plus approximative mais n’en reste pas moins amusante est valable pour toute pyramide conçue avec notre seked de 5 ½.

Partant de là, il va de soi que l’affirmation selon laquelle :

« La surface des quatre faces divisée par celle de la base donne $\phi$. »

… est purement et simplement redondante. En effet, on nous propose de calculer :

$$\frac{4\frac{2as}{2}}{(2s)^2} = \frac{a}{s}$$

Ce qui donnera vraisemblablement la même approximation du nombre d’or.

Notez que pour obtenir une égalité parfaite dans (1), il fallait choisir un seked de :

$$s = \frac{\pi}{4}h \approx 21.99$$

Pour tomber pile sur le nombre d’or dans (2), il fallait choisir :

$$s = \frac{h}{\sqrt{\phi}} \approx 22.01$$

Ce qui n’est pas sans rappeler la coïncidence mathématique bien connue qui fait que :

$$ \frac{4}{\pi} \approx \sqrt{\phi} $$

… et notez enfin que $28/22$, la pente de toute pyramide conçue avec un seked de 5 ½ paumes, donne à peu près $1.2727…$. Je vous laisse comparer ce chiffre avec $4/\pi$ et $\sqrt{\phi}$.

Autre relation remarquable :

« L’aire au niveau du sol de la chambre du roi
est le double de l’aire de la base. »

Effectivement, le sol de la chambre funéraire en question se trouve à $82$ coudées du sol soit, dans notre pyramide miniature, à $h’ = 8.2$ doigts. On peut mesurer la longueur des côtés à cette hauteur avec :

$$2 \times \left( s – h’\frac{s}{h} \right) \approx 31.114$$

Ce qui nous donne une aire de $968.1$ coudées-carrées qui est effectivement quasiment identique à la moitié des $1936$ coudées-carrées de la base.

Il n’est pas du tout exclu que ce soit bien une volonté de l’architecte mais ça peut aussi être un hasard. En effet, une hypothèse concurrente suppose que la chambre du roi a été construite à $80$ coudées de hauteur — les $2$ coudées manquantes correspondant à l’épaisseur du sol en granite — c’est-à-dire à $2/7$ de la hauteur totale ($2$ paumes dans notre miniature).

Il est évidemment très difficile de trancher là-dessus dans la mesure où les architectes égyptiens étaient parfaitement capables de tels calculs. Toujours est-il que le sol de la chambre de la reine se situe à un peu plus de $40$ coudées du sol soit $1/7$ de la hauteur totale c'est-à-dire $1$ paume dans notre miniature…

Évidemment, si on retient cette hypothèse, on peut ré-exploiter (1) à l’envie et dire, par exemple que :

« Le périmètre de la base divisé par la hauteur de la
chambre du roi donne sept fois $\pi$ »

… et rajouter que :

« Le demi-périmètre de la base divisé par la hauteur
de la chambre de la reine donne aussi sept fois $\pi$. »

On peut sans doute en trouver bien d’autres. Je compléterai cette section si besoin est.

Les pieds dans le mètre

En 1952, un certain Charles Funck-Hellet s’aperçu que, par le plus grand des hasards (même si, évidemment, les pyramidologues y voient tout autre chose que du hasard) :

$$\frac{\pi}{6} \approx 0.5236$$

… ce qui se trouve être un chiffre très proche de nos estimations de la longueur de la coudée utilisée dans la GP exprimée en mètres.

Mais, me direz-vous, pourquoi diviser $\pi$ par $6$ précisément ? Pourquoi pas par $4$ ? Pourquoi pas par $5$ ? Eh bien parce qu’en plus de celle citée plus haut, il existe une autre coïncidence mathématique qui permet de lier approximativement $\pi$ et $\phi$ :

$$ \frac{5}{6} \pi \approx \phi^2 $$

C’est ce qui permet au pyramidologue d’affirmer, en notant $c$ notre valeur de la coudée donnée en mètres ($c = 0.5236$), que :

$$ c \approx \pi - \phi^2 $$

Ou, puisque par définition $\phi^2 = \phi+1$ :

$$ c \approx \pi - \phi - 1 $$

Or, outre le fait que ça permet de faire des jolis dessins, ces deux relations tout à fait accidentelles permettent d’établir deux lois (appelons ça comme ça) extraordinairement utiles :

Primo : toute mesure établie en coudées royales qui est un multiple de $6$ « résonne », une fois convertie en mètres, avec $\pi$. En maths, ça signifie que pour tout entier positif $f$, on peut écrire :

(3)

$$ 6f \times c \approx f \pi $$

Deuxio : toute mesure établie en coudées royales qui est un multiple de $5$ « résonne », une fois convertie en mètres, avec $\phi^2$. C'est-à-dire que pour tout entier positif $f$, vous pouvez être assurés que :

(4)

$$ 5f \times c \approx f \phi^2 $$

Fort de ces deux lois, vous allez pouvoir faire « résonner » non seulement notre pyramide mais n’importe quel bâtiment ; pourvu qu’une ou plusieurs de ses dimensions, mesurées avec $c$, soient des multiples de $5$ ou de $6$.

En voici quelques unes, qui devraient vous rappeler quelque chose :

« La hauteur de la pyramide en mètres plus une demie base en mètres donne cent fois $\phi^2$. »

En effet, La hauteur ($280$) plus une demie base ($220$) font $500$ coudées : on peut donc appliquer (4) avec $f = 100$ :

$$ 5 \times 100 \times c \approx 100 \times \phi^2 $$

« Le périmètre de la chambre du roi en mètres donne dix fois $\pi$. »

En effet, $20$ coudées de longueur sur $10$ coudées de largeur donnent un périmètre de $60$ coudées ce qui devrait très bien résonner dans (3) avec $10\pi$ :

$$ 6 \times 10 \times c \approx 10 \times \pi $$

« La hauteur de la pyramide en mètres moins une demie base en mètres donne dix fois $\pi$. »

Mêmes causes mêmes effets : $280$ coudées moins $220$ coudées donnent aussi $60$ coudées et donc (3) :

$$ 6 \times 10 \times c \approx 10 \times \pi $$

« Le périmètre de la chambre du roi en mètres moins sa largeur en mètres donne dix fois $\phi^2$. »

En principe vous avez déjà deviné que ce savant calcul donne un multiple de $5$ (ça fait $50$ coudées) :

$$ 5 \times 10 \times c \approx 10 \times \phi^2 $$

« Le demi-périmètre de la pyramide en mètres moins sa hauteur en mètres donne cent fois $\pi$. »

Ça nous fait une différence de $600$ :

$$ 6 \times 100 \times c \approx 100 \times \pi $$

On peut sans doute en trouver d’autres. Souvenez-vous que ça marche pour n’importe quel entier positif $f$ et sur à peu près n’importe quoi même si, ses architectes ayant eu le bon goût de la concevoir avec des chiffres ronds, c’est beaucoup plus facile avec la pyramide de Khéops.

Conclusion

Bref, si vous mettez de côté cette histoire de surface au niveau du sol de la chambre du roi — qui peut être tout à fait volontaire — tout le reste repose sur (i) la pente de $28/22$ (soit le très classique seked de 5 ½ paumes) et (ii) la coïncidence qui veut qu’un sixième de $\pi$ donne un chiffre quasi identique à celui de la coudée en mètre. Tout est là ; vous n'avez besoin de rien d'autre.