Alignements de k points

Dans le graphique ci-dessous, j’ai placé 30 points de façon (pseudo-)aléatoire — en l’occurrence, les coordonnées ($x$ et $y$) suivent une loi uniforme. Question : à votre avis, combien d'alignements de 3 points peut-on trouver là-dedans ?

Celles et ceux qui me font l’honneur de me lire le savent sans doute : il y en a beaucoup plus que ce que notre intuition nous suggère. C’est une forme d’illusion des séries (clustering illusion), ce biais cognitif qui nous porte à voir des phénomènes déterministes là où il n’y rien d’autre que de l’aléa. En l’espèce, nous aurons tendance à penser qu’un alignement de 3, 4 ou 5 points ne peut pas être dû au hasard : quelqu’un l’a sans doute voulu comme ça.

Le problème

Commençons par poser les bases : qu’est-ce qu’on entend par des points alignés, précisément. Par exemple, considérez le graphique suivant :

Au premier abord, ces trois points semblent bien alignés. Sauf qu’en traçant la droite de régression :

Ils sont raisonnablement alignés… mais pas parfaitement. Juger de l’alignement de $n$ points, c’est donc une affaire de précision. Par points alignés, on entend habituellement qu’ils se trouvent tous sur une bande, un chemin rectiligne, d’une largeur donnée. Sur le graphique ci-dessus, vous pouvez facilement imaginer deux droites parallèles à ma droite de régression — une un peu au-dessus, l’autre légèrement en dessous — de telle sorte que les trois points se trouvent dans cette zone du plan. Si cette bande a une largeur $w$ et si vous pensez que ce degré de précision est suffisant, vous considérerez que ces points sont alignés.

Partant de là, on peut tenter d'estimer grossièrement la probabilité de trouver $k$ points alignés dans un ensemble de $n$ points situés dans un carré de côtés $L$ avec une largeur de bande $w$. Elle dépend du nombre de paquets de $k$ points qu'il est possible de former parmi $n$ points (ce qui, dans un ensemble de 30 points ($n=30$) donne tout de même 4 060 triplets ($k=3$) possibles !) :

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$$

Et elle dépend du rapport entre la surface occupée par la bande ($L \times w$) et la surface totale du carré ($L^2$). Si vous considérez toutes les bandes contenant 2 points, le nombre de troisièmes points situés dans l'une de ces bande devrait très approximativement être :

$$\frac{n!}{(n-k)!k!} \left(\frac{w}{L}\right)^{k-2}$$

Dans mon exemple, avec $n=30$, $k=3$, $L=1$ et $w=0.01$, ça devrait nous faire une quarantaine d'alignements de 3 points.

Simulation

Évidemment, j’ai eu envie de simuler ça sous R pour vérifier. Pour ce faire, j’ai donc concocté un petit algorithme que je soumets à votre sagacité. L'idée consiste, pour chaque $k$-uplet possible, déterminer les coefficients de la droite de régression — la pente ($\beta$) et l'ordonnée à l'origine ($\alpha$) — puis, vérifier que les $k$ points se situent bien dans une bande de plus ou moins $w/2$ autour de cette droite.

Dans le graphique ci-dessus, par exemple, nous souhaitons savoir si les $k$ points sont situés à l’intérieur de la bande délimitée par les deux droites en pointillés rouges. Pour ce faire, il nous faut transformer les résidus de la régression en distances perpendiculaires à la droite de régression (trait continu rouge) et vérifier que la valeur obtenue est bien inférieure à $w/2$ (les segments $[ob]$ et $[od]$, en bleue). En d’autres termes, nous voulons vérifier que, pour chaque point, étant données les résidus ($\varepsilon$, les segments [oc] et [oa]) et les coefficients de la régression, la valeur des segments $[ob]$ ou $[od]$ sont bien inférieurs ou égaux à $w/2$ ?

En principe l'angle $[cob]$ (appelons-le$\theta$) doit être le même que celui de la pente de notre droite de régression. Puisque la valeur d'un angle, en radians, est égale à l'arctangente de sa pente :

$$\theta = \arctan{\beta}$$

Et que, par ailleurs :

$$\cos(\theta) = \frac{[ob]}{[oc]} = \frac{w/2}{\epsilon}$$

Avec un peu d'algèbre, nous cherchons donc à vérifier que :

$$\frac{\epsilon}{\cos(\theta)} \leq \frac{w}{2}$$

En faisant tourner cet algorithme sur tous les triplets possibles de mon set de $n$ points avec $w = 0.01$, on vérifie qu'il y a pas moins de 47 alignements de 3 points :

Et, si vous vous posiez la question, il y a aussi 4 alignements de 4 points :

Voilà le code :

Shortcoming : c’est un peu long. Vos suggestions sont les bienvenues.

2 commentaires:

  1. Salut les gars, comment j'ai retrouvé mon ex-mari, Fast, Dr.Padman a vraiment travaillé sur le lancer des sorts d'amour!
    Mon mari m'a quitté pour une autre femme il y a trois mois et depuis lors, ma vie a été remplie de douleurs, de chagrin et de cœur brisé, car il était mon premier amour avec lequel j'ai passé toute ma vie. Un de mes amis m'a dit avoir vu des témoignages d'un lanceur de sorts appelé Dr.Padman qu'il pourrait ramener son amant dans quelques jours. Je ris et dis que je ne m'intéressais pas mais à cause de l'amour que mon ami m'avait pour moi, elle a consulté le grand prêtre (padmanlovespell@yahoo.com) en mon nom et à ma plus grande surprise après 11 heures plus tard, mon mari m'a appelé pour la première fois après trois mois qu'il me manque et qu'il est désolé pour tout ce qu'il a m'a fait traverser.Il est revenu à moi et maintenant nous sommes heureux ensemble. Je ne peux toujours pas y croire, parce que c’est très incroyable. Merci Dr.Padman d’avoir ramené mon amant et également à mon cher ami qui a intercédé en ma faveur, pour tous ceux qui pourraient avoir besoin de l’aide de ce grand docteur, voici l’adresse email: (padmanlovespell@yahoo.com)

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  2. Bonjour je me prénomme nadia mère de 3 enfants. Je vivais à briouze avec mon mari, quand en 2018 il

    décida d'aller en voyage d'affaire à Bresil , où il tomba sur le charme d'une jeune vénézuélienne et ne

    semblait même plus rentrer. Ces appels devenaient rares et il décrochait quelquefois seulement et après du

    tout plus quand je l'appelais. En février 2019, il décrocha une fois et m'interdit même de le déranger.

    Toutes les tentatives pour l'amener à la raison sont soldée par l'insuccès. Nos deux parents les proches

    amis ont essayés en vain. Par un calme après midi du 17 février 2019, alors que je parcourais les annonce

    d'un site d'ésotérisme, je tombais sur l'annonce d'un grand marabout du nom ZOKLI que j'essayai toute

    désespérée et avec peu de foi car j'avais eu a contacter 3 marabouts ici en France sans résultât. Le grand

    maître ZOKLI promettait un retour au ménage en au plus 7 jours . Au premier il me demande d’espérer un

    appel avant 72 heures de mon homme, ce qui se réalisait 48 heures après. Je l'informais du résultat et il

    poursuivait ses rituels.Grande fut ma surprise quand mon mari m’appela de nouveau 4 jours après pour

    m'annoncer son retour dans 03 jours. Je ne croyais vraiment pas, mais étonnée j'étais de le voire à

    l'aéroport à l'heure et au jour dits. Depuis son arrivée tout était revenu dans l'ordre. c'est après

    l'arrivé de mon homme que je décidai de le récompenser pour le service rendu car a vrai dire j'ai pas du

    tout confiance en ces retour mais cet homme m'a montré le contraire.il intervient dans les domaines

    suivants

    Retour de l'être aimé
    Retour d'affection en 7jours
    réussir vos affaires , agrandir votre entreprises et trouver de bon marché et partenaires
    Devenir star
    Gagner aux jeux de hasard
    Avoir la promotion au travail
    Envoûtements
    Affaire, crise conjugale
    Dés-envoûtement
    Protection contre les esprits maléfices
    Protection contre les mauvais sorts
    Chance au boulot évolution de poste au boulot
    Chance en amour
    La puissance sexuelle.
    agrandir son pénis
    Abandon de la cigarette et de l'alcool

    voici son adresse mail : maitrezokli@hotmail.com vous pouvez l'appeler directement ou l 'Ecrire sur

    whatsapp au 00229 61 79 46 97

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