Le salaire minimum à 15 dollars de Seattle

En général, la (fonction de densité de la) distribution des salaires ressemble à quelque chose comme ça :

C’est-à-dire que relativement peu de gens touchent des salaires très bas (à gauche de la distribution), la plupart perçoivent un salaire proche du salaire médian (au milieu) et, plus on monte dans l’échelle des rémunérations (vers la droite), plus ça devient rare. Sur un graphique de ce type, le P.-D.G. d'une société du CAC 40 ou un joueur international de football se promènent à quelques dizaines de centimètres à droite de votre écran mais ces cas sont si exceptionnels que le trait bleu est invisible à l’œil nu.

Le point MinW indique le niveau du salaire minimum légal. À gauche de ce point, en rouge, vous trouvez toutes les personnes dont le travail vaut moins que le salaire minimum. Typiquement, ce sont des gens peu qualifiés, peu expérimentés et même souvent les deux. C’est-à-dire qu’étant donné le niveau du salaire minimum, ces gens-là sont tout simplement inemployables. C'est une des raisons pour lesquelles le taux de chômage des jeunes et des moins diplômés est considérablement plus élevé que la moyenne.

Une étude récente menée au Danemark illustre très bien cette idée en s’intéressant au taux d’emploi des jeunes autour de 18 ans. La raison en est qu’avant 18 ans, les différents accords de branche en vigueur au Danemark imposent un salaire minimum de 73 couronnes (DKK) en moyenne mais que, sitôt passé 18 ans, ce chiffre passe à 119 couronnes.

Un graphique résume parfaitement le résultat : à gauche, le salaire horaire moyen (en couronnes) des salariés de 16 à 20 ans en fonction de leur âge exact ; à droite le taux d’emploi correspondant. Très clairement : à 18 ans, le salaire moyen augmente de 40% — presqu’exclusivement à cause de la mise en œuvre des salaires minimum — et le taux d’emploi s’effondre de 33%.

Partant, vous comprenez sans difficulté qu’il y a deux façons de traiter le problème. La première, c’est de déplacer la zone rouge vers la droite c’est-à-dire de faire en sorte que ces gens acquièrent les compétences et/ou l’expérience qui leur manquent pour être employables à MinW. On parle, bien sûr, de formation et de tout dispositif propre à faire en sorte que les jeunes puissent mettre le pied à l’étrier et acquérir de l’expérience. L’autre solution, évidemment, c’est de baisser MinW (le déplacer vers la gauche).

Symétriquement, toujours selon la même idée, une hausse de MinW devrait toutes choses égales par ailleurs entraîner une hausse du chômage : ce sont les gens immédiatement à droite du salaire minimum qui vont voir leurs heures réduites ou carrément perdre leur travail.

Le contre-argument de celles et ceux qui plaident pour une augmentation du salaire minimum consiste à dire qu’en payant mieux les bas salaires — qui ont, habituellement, tendance à consommer une plus importante fraction de leurs revenus que les autres (qui en épargnent une partie) — on créé un surcroît de demande ; lequel va se retrouver dans le carnet de commande des entreprises qui, dès lors, embaucheront et compenseront l’effet décrit ci-dessus.

Tout le problème est là : cet effet revenu induit par la hausse du salaire minimum existe-t-il et si oui, compense-t-il l’effet prix sur les salaires ? En théorie, c’est assez difficile à dire mais une expérience en cours dans l’État de Washington apporte quelques éléments de réponse.

Comme vous le savez peut-être, le salaire minimum en vigueur à Seattle est passé de 9.47 dollars (USD) de l’heure à 11 dollars le 1er avril 2015 puis à 13 dollars le 1er janvier 2016 — une augmentation de plus de 37% en 9 mois — et il a atteint 15 dollars le 1er janvier 2018.

Or, il se trouve que l’État de Washington collecte des données extrêmement précises sur l’état du marché du travail local. En particulier, c’est un des rares États de l’union à recenser le nombre d’heures travaillées par les salariés. Un groupe de chercheurs de l’Université de Washington a donc profité de cette opportunité pour mesurer précisément l’impact des deux premières hausses du salaire minimum sur l’emploi des salariés les moins bien payés — en l’occurrence, celles et ceux qui touchent moins de 19 dollars de l’heure.

Si la première hausse — de 9.47 à 11 dollars, soit 16.2% — semble avoir eu un effet limité, la seconde — de 11 à 13 dollars — s’est accompagnée d’une réduction de 9% des heures travaillées par les bas salaires — soit qu’ils aient perdu leur emploi soit qu’on ait réduit leurs temps de travail. Au total, la hausse du salaire horaire ne compense pas cette perte d’heures et ces salariés ont subi, en moyenne, une perte de revenus de l’ordre de 125 dollars par mois.

C'est-à-dire que pour l'instant, il y a bien un effet revenu mais il est négatif. Le 1er janvier de cette année, le salaire minimum à Seattle est passé à 15 dollars ; on va voir ce que ça donne mais il a quelques raisons de ne pas être très optimiste. Les résultats devraient tomber ici.

Le temps continu en finance

Supposez que vous disposiez d’un capital de 1 et que votre banquier vous propose de l’investir sur un compte rémunéré à hauteur de 100% [1] pendant 1 an. À la fin de l’année, de combien disposerez-vous ?

Dans le cas présent, le calcul est très simple : vous avez mis 1 et, à la fin de l’année, votre banquier vous versera 100% de 1 d’intérêts ce qui, en principe, devrait vous faire 2.

Seulement voilà : il est tout à fait possible que votre banquier vous propose de vous payer vos intérêts en plusieurs fois. Par exemple, un taux d’intérêt nominal de 100% sur un capital de 1 peut aussi donner lieu à un paiement de 0.5 au bout de 6 mois et des 0.5 à la fin de l’année.

Supposons donc que votre banquier vous propose un paiement semestriel et admettons [2] qu’il vous permette de réinvestir vos intérêts au même taux. À la fin de l’année, de combien disposerez-vous ?

C’est à peine plus compliqué : au bout de 6 mois, vous avez toujours votre capital initial (1) auquel vient se rajouter un premier paiement de 0.5 que vous réinvestissez à 100% pour les 6 mois restants. À la fin de l’année, vous récupérez donc ces 1.5, un second paiement de 0.5 et les 0.25 qui correspondent aux intérêts des 0.5 réinvestis en cours d’année. Vous voilà donc avec un capital de 2.25.

D’une façon générale, on peut facilement démontrer que pour tout capital initial $C_0$ et pour tout taux d’intérêt nominal $k$, la valeur acquise de votre capital placé selon cette règle [3] pendant $t$ années s'écrit :

$$C_t = C_0 \times \left(1+\frac{k}{f}\right)^{ft}$$

Où $f$ désigne le nombre de paiements d’intérêt par an : dans le cas de paiements semestriels $f = 2$, avec des paiements trimestriels ont aurait $f = 4$ etc.

Reprenons notre exemple initial ($C_0 = 1$, $k = 1$ et $t = 1$) et voyons ce que ça donne en augmentant la fréquence ($f$). Avec des paiements trimestriels ($f = 4$), vous devriez trouver environ 2.44141, avec des paiements mensuels ($f=12$) ça fait environ 2.61304, avec des intérêts tous les jours ($f=365$ sur une année bissextile) vous arrivez à quelque chose comme 2.71457 et, dans l'hypothèse parfaitement incongrue où vous pourriez réinvestir vos intérêts toutes les heures ($f=8760$ sur une année bissextile), vous récupéreriez 2.71813 à la fin de l'année.

Comme vous pouvez le constater, plus la fréquence augmente, plus la valeur acquise de votre capital est importante — ce qui est assez logique puisque ça signifie que vous pouvez réinvestir de plus en plus tôt — mais on sent bien que ça tend vers une limite.

C’est la question que se posait Jabob Bernouilli en 1683 : « si je place 1 thaler [4] à 100% pendant 1 an et que la fréquence de paiement des intérêts tend vers l’infini (imaginez, pour simplifier, qu’on vous paie des intérêts toutes les nanosecondes), combien ça fait ? »

La réponse c'est $e$, le « nombre d'Euler », la « constante de Néper », la base du logarithme naturel qui vaut environ 2.71828.

D’une façon générale, pour tout capital initial $C_0$ et pour tout taux d’intérêt nominal $k$, la valeur acquise de votre capital placé pendant $t$ années en supposant que vos intérêt sont payés et réinvestis au taux $k$ à une fréquence infinie s’écrit :

$$C_t = C_0 \times e^{kt}$$

Ce qui fait qu’avec un peu d’algèbre, vous pouvez aussi exprimer notre taux d’intérêt ($k$) en fonction du capital initial ($C_0$) et de sa valeur acquise après $t$ années ($C_t$) :

$$k = \frac{1}{t} \times \ln{\left( \frac{C_t}{C_0} \right)}$$

Ou, puisque c'est mathématiquement équivalent :

$$k = \frac{1}{t} \times \left( \ln{(C_t)} - \ln{(C_0)}\right)$$

On peut utiliser le même principe pour exprimer des taux de rendement. Habituellement, pour mesurer le taux de rendement entre $C_0$ et $C_t$, on utilise :

$$ d_{0, t} = \frac{C_t}{C_0} - 1$$

Ce qui revient à supposer que la différence entre $C_0$ et $C_t$ nous est payée en une seule fois à la date $t$ (c'est-à-dire qu'il n'y a pas matière à réinvestir quoi que ce soit). Mais on peut aussi, par simple convention de calcul, faire comme si ce rendement prenait la forme d'une infinité de paiements qui nous sont versés et que nous réinvestissons en continu au même taux. Auquel cas :

$$ \delta_{0, t} = \ln{\left( \frac{C_t}{C_0} \right)}$$

Et :

$$C_t = C_0 \times e^{\delta_{0, t}}$$

Mais après tout, pourquoi utiliser ces choses-là puisque nous avons déjà une convention de calcul des taux de rendement (celle de $d_{0,t}$) ? Eh bien figurez-vous qu’il existe une excellente raison à ça : les rendements continus se somment. C’est-à-dire que :

$$\delta_{0,T} = \delta_{0,1} + \delta_{1,T}$$

Or, cette propriété est extraordinairement utile pour tout un tas d'applications pratiques et peut, même, dans certain cas extrêmes, permettre à des journalistes du service public d'échapper au ridicule [5].

---
[1] Par convention et ce depuis la nuit des temps un taux d’intérêt est toujours exprimé en base annuelle : lisez 100% d’intérêt par an.
[2] Ce qui, dans la pratique, n’a que très peu de chance d’arriver. Ce n’est qu’une convention de calcul.
[3] On appelle ça des intérêts composés : ce n’est, comme je l’ai déjà dit ci-dessus, qu’une convention de calcul.
[4] C'est la monnaie qui circulait à Bâle (Suisse) à l'époque. On est presque sûr que c'est de là que vient le mot « dollar. »
[5] JT de France 2 le 19 février 2013. La vidéo est ici.

Modéliser des patrimoines avec une marche aléatoire

Challenge vient de publier son classement annuel des plus grosses fortunes françaises et, comme d’habitude, les résultats donnent lieu à un nombre effarant d’interprétations erronées. J’y reviendrai si je trouve le temps. En attendant, je vous propose de voir comment on peut modéliser l’évolution de patrimoines dans le temps avec une marche aléatoire.

Considérez $N$ patrimoines (avec $i \in \{1, 2, \ldots, N\}$) observés pendant $T$ années (avec $t \in \{1, 2, \ldots, T\}$). La variation annuelle du patrimoine $P_i$ de l'année $t-1$ à l'année $t$ s’écrit :

$$\delta_{i, t} = \log{\left(P_{i, t}/P_{i, t-1}\right)} = \log{(P_{i, t})} - \log{(P_{i, t-1}})$$

Et la variation totale du patrimoine $P_i$ au bout de $T$ années est simplement la somme de ses variations annuelles :

$$\delta_{i, T} = \sum_{t = 1}^T \delta_{i, t}$$

La valeur finale, au bout de $T$ années, du patrimoine $P_i$ s'écrit donc simplement :

$$ P_{i, T} = P_{i, 0} \times e^{\delta_{i, T}}$$

Supposons que les variations annuelles de nos patrimoines suivent une distribution stable — peu importe laquelle — de moyenne $\mu$ et d’écart-type $\sigma$. Au bout de $T$ années, on sait que la variation moyenne ($\mu_T$) des patrimoines sera de :

$$\mu_T = \mu \times T$$

Si on admet que ces variations ne sont pas autocorrélées [1], la formule de Bienaymé nous permet d’écrire que l’écart-type au bout de $T$ années ($\sigma_T$) sera de :

$$\sigma_T = \sigma \times \sqrt{T}$$

Par ailleurs, avec un nombre suffisant d’observations (d’années), le Théorème Central Limite nous apprend que la distribution des variations de nos $N$ patrimoines sur $T$ années suivra une loi normale — ou, du moins, quelque chose de proche — ce qui implique que la distribution des patrimoines eux-mêmes suivra une loi log-normale.

$$P_{i, T} \sim \mathcal{lnN}(\mu_T, \sigma_T^2)$$

Forts de ce qui précède, on peut estimer précisément tous les quantiles de la distribution des patrimoines finaux (au bout de $T$ années) et on peut surtout étudier comment la moyenne ($\mu$) et l’écart-type ($\sigma$) influent sur l’accroissement des inégalités.

Je laisse les amateurs vérifier par eux-mêmes mais le résultat est sans appel : plus la moyenne et l’écart-type sont élevés, plus les quantiles de patrimoine élevé (le seuil à partir duquel on appartient au top 1% par exemple) progressent plus vite que les autres (la médiane par exemple) — i.e. plus la distribution devient asymétrique à droite.

En d’autres termes, dans un monde (théorique) où les patrimoines évoluent de façon parfaitement aléatoire, un accroissement important des inégalités correspond à une situation dans laquelle (i) tout le monde, en moyenne, s’enrichi et/ou (ii) la variance des patrimoines est élevée. Au contraire, une situation dans laquelle les inégalités sont stables ou régressent correspond à un monde de patrimoines stationnaires (voire en régression) avec une faible variance.

Ça ne signifie naturellement pas que l’évolution des patrimoines est vraiment aléatoire mais ça signifie très concrètement que ce phénomène d’enrichissement plus rapide du top x% est, au moins en partie, une conséquence logique et mathématique d’un monde dans lequel le plus grand nombre s’enrichi et dans lequel les fortunes sont volatiles.

Un garçon qui n’a jamais eu de métier

Jean-Luc Mélenchon fait ses premières armes en politique à Lons-le-Saunier, en mai 1968. À cette époque il n’est que lycéen — en première littéraire — mais c’est lui, racontent ses anciens camarades de classe, qui va importer les évènements parisiens dans son Jura d’adoption. C’est lors de cette première expérience politique qu’il va réaliser son indiscutable talent d’orateur et se familiariser avec la pensée d’extrême gauche et notamment Karl Marx qui devient son livre de chevet en terminale. Il passe son bac en 1969 et s’inscrit à la faculté des lettres de l’université de Besançon pour y étudier la philosophie.

Sitôt inscrit, le jeune Mélenchon se rapproche de l’UNEF et déserte les amphis pour se consacrer au militantisme. Il parviendra quand même à obtenir sa licence en 1972 mais ne poussera pas ses études plus loin : la même année, il rentre formellement en politique en rejoignant l’Organisation Communiste Internationaliste (OCI), une organisation trotskyste de tendance lambertiste qui est alors à son apogée. Désormais connu sous le pseudonyme de « Santerre » et encore officiellement étudiant, Jean-Luc Mélenchon se consacre à plein temps à ses activités politiques.

C’est en 1974, avec la naissance de sa fille alors qu’il n’a que 22 ans, que la réalité va le rattraper. Il a désormais charge de famille et le job de surveillante de son épouse ne suffit plus : il va désormais devoir gagner sa vie. Au premier trimestre, il est correcteur pour l’imprimerie Néo-Typo puis, dans la foulée, travaille quelques mois dans l’usine de l’horloger Maty. C’est-à-dire que, sans qu’on ait de dates plus précises, l’intégralité de l’expérience ouvrière de Jean-Luc Mélenchon tient dans une année. Il revendiquera plus tard avoir également travaillé dans une station-service « à la sortie de la ville » sans qu’on en sache plus à ce propos.

Toujours est-il qu’à partir du premier trimestre 1975, Jean-Luc Mélenchon décroche un poste de pion au lycée technique de Mouchard. Il est embauché en tant que surveillant mais c’est à cette occasion — sans doute grâce à son diplôme de philosophie — qu’il sera amené à donner quelques cours de français à une classe de 23 élèves en qualité de professeur auxiliaire. Voilà pour le passé de professeur de français de M. Mélenchon : ça n’a duré que le temps d’un remplacement d’un an — l’année scolaire 1975-76 — et ça n’a concerné qu’une seule classe.

C’est durant l’été 1976 qu’il déménage pour Montaigu, un petit village à côté de Lons-le-Saunier. Fraîchement radié de l’OCI, Jean-Luc Mélenchon décide de rejoindre les « sociaux-traitres » et s’encarte au Parti Socialiste où il reprend ses activités de militantisme politique. Las, son contrat de surveillant n’étant pas renouvelé, il doit à nouveau chercher du travail. En octobre 1976, il se fait embaucher comme pigiste aux Dépêches du Jura ou il officiera sous le pseudonyme de « Jean-Louis Mula » (JLM).

La liste de l’Union des gauches remporte les municipales de Lons-le-Saunier en mars 1977 mais le PCF y est majoritaire. Afin de préparer les législatives de 1978 et de contrer l’influence communiste, Jean-Luc Mélenchon convainc la toute petite fédération PS du Jura de lancer son propre journal — La Tribune du Jura — dont il devient directeur, journaliste (« Jean-Louis Mula ») et même dessinateur (« Moz »). Le premier numéro sort en novembre 1977, le sixième et dernier parait en avril 1978 : il a donc dirigé une feuille de chou politique pendant 5 mois.

Mais le mois suivant, en mai 1978, on retrouve Moz dans un canard local lequel se trouve être — de façon assez amusante — un hebdomadaire catholique (La Croix jurassienne). Jean-Luc Mélenchon y publiera quelques strips en trois cases, les actualités indiennes, avant de briguer un poste vacant à la rédaction. Las, sa candidature ne sera finalement pas retenue pour des motifs de divergence idéologique et notre futur tribun se retrouve encore une fois sans ressource.

C’est à ce moment, fin 1978, qu’il se fait embaucher par Claude Germon, le maire de Massy, qui en fait son directeur de cabinet et le lance en politique. Se remémorant cette époque, ledit Germon qui aura, il est vrai, quelques raisons de regretter son choix, a une réflexion quelque peu lapidaire : « très vite je me suis rendu compte que c’est un garçon qui n’a jamais eu de métier. » Quoiqu’il en soit, la carrière politique de Jean-Luc Mélenchon, elle, est désormais bien lancée.

C’est-à-dire que le grand défenseur des travailleurs qui n’a de cesse de donner des leçons à tout le monde n’a lui-même travaillé, hors politique, que quatre petites années — et encore, en prenant large. Il n’a été ouvrier qu’un an tout au plus, ses galons de professeur de français — voire de professeur de littérature — sont très largement usurpés et son glorieux passé de journaliste se résume à quelques piges ou mauvais dessins dans des publications parfaitement confidentielles. Jean-Luc Mélenchon est un pur politicien qui n’a pour ainsi dire jamais rien fait d’autre ; c’est un beau parleur qui, pour reprendre les termes de Claude Germon, ne sait rien faire d’autre.

---
Mes principales sources sont [1] une interview de JLM dans Gala (1er septembre 2015), [2] une autre dans Paris Match (23 juillet 2011), [3] l'interview de Claude Germon sur France Culture, à partir de 23:25 (21 janvier 2012), [4] un article de Pierre Pauma sur Rue89 (12 octobre 2014) et Last but not least, [5] Mélenchon le plébéien de Lilian Alemagna et Stéphane Allies.

Nombre d'heures travaillées par an et pour 100 personnes

Selon les données de l’OCDE pour 2015, le taux d’emploi de la population française âgée de 15 à 64 ans était de 63.8%. C’est-à-dire que sur 100 personnes en âge de travailler, un peu moins de 64 ont effectivement occupé un emploi — fût-ce à temps partiel — durant l’année considérée. Par ailleurs, selon la même source, le temps de travail annuel moyen des français qui ont travaillé en 2015 s’établissait à 1 482 heures [1].

En croisant ces deux données, on peut facilement estimer le nombre d’heures de travail fournies en une année par 100 français en âge de travailler : ça fait environ 94 552 heures. Juste pour remettre ce chiffre dans son contexte, voici ce que ça donne pour tous les pays pour lesquels les données sont disponibles dans les bases de l’OCDE :

Juste pour votre information, pas moins de 84.7% des islandais âgés de 15 à 64 ans travaillent (c’est le record du panel) et ils travaillent en moyenne 1 880 heures par an. Ce sont les mexicains et les coréens (du sud) qui, lorsqu’ils travaillent, fournissent le plus grand nombre d’heures avec 2 246 et 2 113 heures par an respectivement. Ils sont suivis par les grecs (2 042) mais ces derniers ne sont que 50.8% à occuper un emploi (du moins, officiellement) ce qui les place bons derniers en termes de population employée. Enfin, c’est en Allemagne que le nombre d’heures travaillées par ceux qui ont un emploi est le plus faible avec 1 371 heures par an.

---
[1] En travaillant 35 heures par semaine sur 47 semaines par an (52 semaines moins 5 semaines de congés payés), vous arrivez à 1 645 heures. Le différentiel est essentiellement dû aux temps partiels.

Calculer la date de Pâques pour n’importe quelle année

Établie au concile de Nicée en 325, la date officielle du dimanche de Pâques sert de référence pour fixer les dates de plusieurs jours fériés. En France, il y a le lundi de Pâques (i.e. le lendemain), le jeudi de l’Ascension (39 jours après) et le lundi de Pentecôte (50 jours après) ; aux États-Unis, le Good Friday tombe le vendredi qui précède le dimanche de Pâques (soit deux jours avant). Problème : calculer la date de Pâques est affreusement compliqué.

Fort heureusement, quelques brillants esprits s'y sont collés avant nous et nous ont livré des algorithmes capables de déterminer cette date précisément, sans avoir recours aux redoutables méthodes canoniques que je vous laisse découvrir par vos propres moyens. Je vous propose ci-dessous la méthode dite de Butcher [1] codée sous R : elle permet, pour n’importe quelle année, de trouver la date du dimanche de Pâques dans le calendrier Grégorien.

EasterSunday = function(year) {
 a <- year%%19
 b <- floor(year/100)
 c <- year%%100
 d <- (19*a+b-floor(b/4)-floor((b-floor((b+8)/25)+1)/3)+15)%%30
 e <- (32+2*(b%%4)+2*floor(c/4)-d-c%%4)%%7
 f <- floor((a+11*d+22*e)/451)
 month <- floor((d+e-7*f+114)/31)
 day <- (d+e-7*f+114)%%31+1
 Date(year, month, day)
}

Notez que la fonction Date utilisée ci-dessus est aussi de moi. Voici le code :

Date = function(year, month, day) {
 m <- formatC(month, width = 2, flag = "0")
 d <- formatC(day, width = 2, flag = "0")
 as.Date(paste(year, m, d, sep = "-"))
}

Vous pouvez ainsi vérifier que :

> EasterSunday(2017)
[1] "2017-04-16"
>

Elle fonctionne aussi avec des vecteurs :

> EasterSunday(1515:1518)
[1] "1515-04-11" "1516-04-02" "1517-04-22" "1518-04-07"
> 

For English-speaking readers: this is an R function to compute the date of Easter Sunday in the Gregorian calendar for any given year using Butcher’s algorithm.

---
[1] Cet algorithme a été publié en 1876 par un auteur inconnu dans Nature ; C'est donc Samuel Butcher, évêque de Meath qui a démontré qu’elle est exacte en 1877, qui lui donne son nom.

Monty Hall sans maths

Règle du jeu : on va vous proposer 3 enveloppes dont deux sont vides et une contient un billet de €100. Dans un deuxième temps, l’organisate...