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La caisse commune

Deux individus décident de créer caisse commune afin de s’assurer mutuellement contre un risque qui a une probabilité d’occurrence à horizon d’un an de ½ et un coût financier 1 000. Pour alimenter cette caisse, ils doivent donc cotiser à hauteur de ½ × 1 000 chacun. Il va de soi qu’en termes de probabilités, la situation des sociétaires est rigoureusement identique avec ou sans caisse : dans les deux cas, l’espérance de perte est de 500.

½ × 1 000 = 1 × 500

Si ces deux individus créent cette caisse commune c’est parce qu’ils sont averses au risque ; parce qu’ils préfèrent perdre 500 de manière certaine (payer une prime d’assurance) plutôt que d’avoir une chance sur deux de perdre le double. C’est le principe de base de tous les systèmes d’assurance : l’absence d’incertitude a une valeur, un prix que nous sommes prêts à payer pour vivre dans un environnement certain.

Si nos deux individus créent cette caisse commune, c’est parce qu’ils estiment l’un et l’autre que le fait d’être couvert a une valeur k ; sachant que k est strictement supérieur à zéro et strictement inférieur au montant de la prime (ici 500).

Par hypothèse, nous allons admettre (i) que chacun des deux sociétaires a la possibilité de tricher en prenant l’argent de la caisse sans motif valable — auquel cas, ils perdent tous les deux le bénéfice de k — et (ii) que, pour une raison ou une autre, ils ne peuvent pas communiquer entre eux.

Quatre cas peuvent se présenter :
(i) Les deux joueurs coopèrent : ils gagnent k chacun — c’est notre optimum de Pareto ;
(ii) Les deux joueurs trichent : ils ne gagnent rien (i.e. chacun récupère sa prime et ils perdent le bénéfice de k) ;
(iii) & (iv) Un seul joueur trahit : il gagne $500 tandis que l’autre en perd autant et ils perdent tous les deux le bénéfice de la protection.

En théorie des jeux, on appelle ça un dilemme du prisonnier. Énoncé en 1950 par Albert W. Tucker, c’est une situation dans laquelle, en l’absence de communication entre eux, deux individus qui auraient intérêt à coopérer vont vraisemblablement choisir de se trahir mutuellement. En l’occurrence, si les deux sociétaires ne communiquent pas entre eux parce que, par exemple, ils ne se connaissent pas, il est très vraisemblable qu’il vont tous les deux essayer de tricher (ii).

En revanche, si nos deux sociétaires se connaissent et communiquent entre eux, il est très probable qu’ils vont parvenir à résoudre le dilemme en socialisant — le simple fait d’être considéré comme un traître par quelqu’un que vous croisez tous les jours peut suffire à vous dissuader de tricher. De la même manière, Robert Axelrod a démontré qu’en itérant le jeu et à supposer que chaque joueur garde en mémoire le comportement des autres joueurs lors des parties précédentes, ce sont les stratégies coopératives [1] qui s’avèrent les plus rentables.

C’est-à-dire qu’en l’absence d’un système de contrôle et de sanctions hexogènes (un tiers surveille et puni l’éventuel tricheur [2]), la viabilité de la caisse commune repose sur le fait que les individus qui y participent communiquent entre eux ou, au moins, savent comment se sont comporté les autres dans le passé. Sans ça, sans ce processus de confiance et de surveillance mutuelle, il est très probable que la triche va se généraliser jusqu’à l’explosion de la caisse commune.

Or, ce que nous suggère le nombre de Dunbar, c’est que cette connaissance mutuelle n’est plus possible au-delà d’environ 150 individus. Au-delà de ce seuil, seul un système coercitif peut contenir les comportements de passagers clandestins et il est sans doute impropre de parler de « solidarité » puisque le fonctionnement de la caisse ne repose plus que sur un système d’incitations individuelles.

Si cette idée vous rappelle étrangement un célèbre passage de Frédéric Bastiat [3], ce n’est sans doute pas un hasard.

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[1] La meilleure étant la stratégie « donnant-donnant » (Tit or tat) qui consiste coopérer la première fois puis, à reproduire à chaque fois le comportement de l'adversaire du coup précédent.
[2] C’est un des services pour lesquels nous rémunérons les dirigeants de nos mutuelles et autres compagnies d’assurance.
[3] Frédéric Bastiat, Harmonies Économiques (1850), chap. XIV.

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