Monty Hall sans maths

Règle du jeu : on va vous proposer 3 enveloppes dont deux sont vides et une contient un billet de €100. Dans un deuxième temps, l’organisateur, qui sait où se trouve le billet et ne souhaite pas vous révéler sa position, va ouvrir une enveloppe qu’il sait être vide et qui n’est pas celle que vous avez en main. À ce stade, vous aurez le choix entre (i) rester sur votre choix initial ou (ii) changer d’avis et prendre l’enveloppe qui reste.

Le jeu commence : par hypothèse, vous ouvrez l’enveloppe 1 et l’organisateur ouvre l’enveloppe 2 (qui est donc vide). Vous avez donc le choix entre garder l’enveloppe 1 ou changer pour l’enveloppe 3. Que faites-vous ?

Vous êtes sans doute nombreux à avoir reconnu le problème de Monty Hall et donc, à savoir qu’il faut changer : le billet a deux fois plus de chances de se trouver dans l’enveloppe 3 que dans l’enveloppe 1.

Ce résultat a beau être un grand classique des probabilités, à chaque fois qu’on pose le problème la solution donne systématiquement lieu à des débats byzantins (avec, notamment, les inévitables critiques de l’énoncé). Je vous propose donc quelques démonstrations intuitives (i.e. sans maths) pour tenter de clore le débat.

Version courte : au départ du jeu, la probabilité pour que le billet soit dans l’enveloppe 1 est de 1/3. Comme il ne peut se trouver que dans l’enveloppe 1 ou dans l’enveloppe 3, la probabilité qu’il se trouve dans la 3ème, c’est nécessairement les 2/3 restants.

Pas convaincu ? Imaginez qu’au lieu de 3 enveloppes, il y en avait 100. Vous en avez sélectionné une (1 chance sur 100 d’avoir vu juste du premier coup) et l’organisateur vous démontre que 98 autres sont vides. Vous avez donc le choix entre votre pari initial et une sélection de 98 enveloppes sur 99 faite par l’organisateur...

Toujours pas ? Considérez tous les scénarios possibles :

(i) Le billet est dans l’enveloppe 1 (1 chance sur 3). Dans ce cas, l’organisateur peut ouvrir l’enveloppe 2 (1 chance sur 2) ou l’enveloppe 3 (1 chance sur 2 aussi). Ces deux scénarios ont donc une probabilité de 1/6.

(ii) Le billet est dans l’enveloppe 2 (1 chance sur 3). Si ça avait été le cas, l’organisateur ne pouvait ouvrir que l’enveloppe 3 (sinon, il révélait de facto la position du billet). Comme nous savons que le billet n’est pas dans l’enveloppe 2, on peut éliminer ce scénario.

(iii) Le billet est dans l’enveloppe 3 (1 chance sur 3). Si c’est le cas, pour les même raisons que précédemment, l’organisateur ne peut ouvrir que l’enveloppe 2 (probabilité de 100%). Dès lors, ce scénario a 1 chance sur 3 de se réaliser.

Partant de là, considérez les deux cas dans lesquels l’organisateur ouvre l’enveloppe 2 : dans le scénario (i) ça correspond à une probabilité de 1/6 tandis que dans le scénario (iii) la probabilité est de 1 chance sur 3 — le double.

Le truc de Monty Hall, c’est que l’organisateur fait une sélection consciente parmi les enveloppes que vous n’avez pas choisies au départ : il en ouvre une qu’il sait être vide. C’est cette action de l’organisateur qui créé une asymétrie dans nos probabilités : quand il ouvre l’enveloppe 2, il ne fait pas qu’éliminer cette enveloppe ; il nous donne aussi une information sur la position du billet entre les enveloppes 1 et 3 (parce que si elle était dans l’enveloppe 1, il aurait tout aussi bien pu ouvrir l’enveloppe 3.)

A contrario, si l’organisateur choisissait une enveloppe au hasard (et tombait par chance sur une enveloppe vide), les probabilités seraient bien de 50% pour chacune des enveloppes restantes.

Et si tout ce qui précède ne suffit pas, il nous reste à simuler un grand nombre de jeu de Monty Hall pour voir quelle est la stratégie gagnante. En supposant un gain de 1 lorsque vous trouvez le billet (zéro dans le cas contraire), voilà une petite fonction sous R qui fait le job :

monty.hall = function() {
 v <- 1:3
 init <- sample(v, 1)
 play <- sample(v, 1)
 orga <- sample(v[-c(init, play)], 1)
 keep <- as.integer(init == play)
 swth <- as.integer(! keep)
 c(keep, swth)
}

Reste à tester ça un million de fois pour voir quelle est la meilleure stratégie :

n <- 1e6
res <- replicate(n, monty.hall())
rowSums(res)/n

Vu ?

8 commentaires:

  1. Votre raisonnement m'échappe. Tout d'abord dans le texte il est dit que le joueur ouvre l'enveloppe 1 je suppose qu'il faut comprendre qu'il prend l'enveloppe 1 sans l'ouvrir (autrement les enveloppes 1 et 2 ayant été ouvertes la probabilité pour l'enveloppe 3 devient 100%). Les conditions de départ affectent les probabilités, 3 enveloppes sont fermées soit 1/3 pour chaque enveloppe mais une fois que l'enveloppe 2 est ouverte les conditions changent: deux enveloppes sont fermées et la probabilité devient 1/2 pour chacune d'elles. Pourquoi faudrait-il considérer que la première probabilité affectée a l'enveloppe 1 est immuable et que la probabilité sur l'enveloppe 2 se reporte entièrement sur l'enveloppe 3?

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  2. Bonjour, le crédit entre particulier est une opération financière consistant à emprunter de l'argent directement auprès des gens sans l'intervention d'une banque. La plupart du temps, c'est fait dans un environnement familial ou amical. Mais récemment, vous pouvez emprunter chez un inconnu. Je suis disposé à offrir des prêts à toutes personnes ayant la capacité de le rembourser sans soucis. Je serai impatient de traiter avec vous si vous avez vraiment besoin de crédit et si c'est de bonne volonté.

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  3. Salut les gars, comment j'ai retrouvé mon ex-mari, Fast, Dr.Padman a vraiment travaillé sur le lancer des sorts d'amour!
    Mon mari m'a quitté pour une autre femme il y a trois mois et depuis lors, ma vie a été remplie de douleurs, de chagrin et de cœur brisé, car il était mon premier amour avec lequel j'ai passé toute ma vie. Un de mes amis m'a dit avoir vu des témoignages d'un lanceur de sorts appelé Dr.Padman qu'il pourrait ramener son amant dans quelques jours. Je ris et dis que je ne m'intéressais pas mais à cause de l'amour que mon ami m'avait pour moi, elle a consulté le grand prêtre (padmanlovespell@yahoo.com) en mon nom et à ma plus grande surprise après 11 heures plus tard, mon mari m'a appelé pour la première fois après trois mois qu'il me manque et qu'il est désolé pour tout ce qu'il a m'a fait traverser.Il est revenu à moi et maintenant nous sommes heureux ensemble. Je ne peux toujours pas y croire, parce que c’est très incroyable. Merci Dr.Padman d’avoir ramené mon amant et également à mon cher ami qui a intercédé en ma faveur, pour tous ceux qui pourraient avoir besoin de l’aide de ce grand docteur, voici l’adresse email: (padmanlovespell@yahoo.com)

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  4. Je veux que le monde connaisse un grand homme bien connu sous le nom de DR Padman, site Web: https://padmanspell.com/index-3.htmlhe a la solution parfaite aux problèmes relationnels et aux problèmes de mariage. La raison principale pour laquelle je suis allé chez DR Padman. était pour trouver une solution sur la façon dont je peux récupérer mon mari parce que ces derniers temps j'ai lu des témoignages sur Internet que certaines personnes ont écrits sur DR Padman, et j'étais tellement heureux et j'ai décidé de demander de l'aide, ce qu'il a fait travail en jetant un sort d'amour sur mon mari qui l'a fait revenir vers moi et implorer le pardon. Je n'arrêterai pas de publier son nom sur le net à cause du bon travail qu'il fait. Je laisserai tomber son contact pour l'utilité de ceux qui ont besoin de son aide.Son email (padmanlovespell@yahoo.com) ou son site Web: https://padmanspell.com/index-3.html Whatsapp +19492293867 https: // twitter. com / padman_dr. ce grand lanceur de sorts pour votre problème de relation ou de mariage, encore une fois je suis très reconnaissant envers Dr.PADMAN

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