Monty Hall sans maths

Règle du jeu : on va vous proposer 3 enveloppes dont deux sont vides et une contient un billet de €100. Dans un deuxième temps, l’organisateur, qui sait où se trouve le billet et ne souhaite pas vous révéler sa position, va ouvrir une enveloppe qu’il sait être vide et qui n’est pas celle que vous avez en main. À ce stade, vous aurez le choix entre (i) rester sur votre choix initial ou (ii) changer d’avis et prendre l’enveloppe qui reste.

Le jeu commence : par hypothèse, vous ouvrez l’enveloppe 1 et l’organisateur ouvre l’enveloppe 2 (qui est donc vide). Vous avez donc le choix entre garder l’enveloppe 1 ou changer pour l’enveloppe 3. Que faites-vous ?

Vous êtes sans doute nombreux à avoir reconnu le problème de Monty Hall et donc, à savoir qu’il faut changer : le billet a deux fois plus de chances de se trouver dans l’enveloppe 3 que dans l’enveloppe 1.

Ce résultat a beau être un grand classique des probabilités, à chaque fois qu’on pose le problème la solution donne systématiquement lieu à des débats byzantins (avec, notamment, les inévitables critiques de l’énoncé). Je vous propose donc quelques démonstrations intuitives (i.e. sans maths) pour tenter de clore le débat.

Version courte : au départ du jeu, la probabilité pour que le billet soit dans l’enveloppe 1 est de 1/3. Comme il ne peut se trouver que dans l’enveloppe 1 ou dans l’enveloppe 3, la probabilité qu’il se trouve dans la 3ème, c’est nécessairement les 2/3 restants.

Pas convaincu ? Imaginez qu’au lieu de 3 enveloppes, il y en avait 100. Vous en avez sélectionné une (1 chance sur 100 d’avoir vu juste du premier coup) et l’organisateur vous démontre que 98 autres sont vides. Vous avez donc le choix entre votre pari initial et une sélection de 98 enveloppes sur 99 faite par l’organisateur...

Toujours pas ? Considérez tous les scénarios possibles :

(i) Le billet est dans l’enveloppe 1 (1 chance sur 3). Dans ce cas, l’organisateur peut ouvrir l’enveloppe 2 (1 chance sur 2) ou l’enveloppe 3 (1 chance sur 2 aussi). Ces deux scénarios ont donc une probabilité de 1/6.

(ii) Le billet est dans l’enveloppe 2 (1 chance sur 3). Si ça avait été le cas, l’organisateur ne pouvait ouvrir que l’enveloppe 3 (sinon, il révélait de facto la position du billet). Comme nous savons que le billet n’est pas dans l’enveloppe 2, on peut éliminer ce scénario.

(iii) Le billet est dans l’enveloppe 3 (1 chance sur 3). Si c’est le cas, pour les même raisons que précédemment, l’organisateur ne peut ouvrir que l’enveloppe 2 (probabilité de 100%). Dès lors, ce scénario a 1 chance sur 3 de se réaliser.

Partant de là, considérez les deux cas dans lesquels l’organisateur ouvre l’enveloppe 2 : dans le scénario (i) ça correspond à une probabilité de 1/6 tandis que dans le scénario (iii) la probabilité est de 1 chance sur 3 — le double.

Le truc de Monty Hall, c’est que l’organisateur fait une sélection consciente parmi les enveloppes que vous n’avez pas choisies au départ : il en ouvre une qu’il sait être vide. C’est cette action de l’organisateur qui créé une asymétrie dans nos probabilités : quand il ouvre l’enveloppe 2, il ne fait pas qu’éliminer cette enveloppe ; il nous donne aussi une information sur la position du billet entre les enveloppes 1 et 3 (parce que si elle était dans l’enveloppe 1, il aurait tout aussi bien pu ouvrir l’enveloppe 3.)

A contrario, si l’organisateur choisissait une enveloppe au hasard (et tombait par chance sur une enveloppe vide), les probabilités seraient bien de 50% pour chacune des enveloppes restantes.

Et si tout ce qui précède ne suffit pas, il nous reste à simuler un grand nombre de jeu de Monty Hall pour voir quelle est la stratégie gagnante. En supposant un gain de 1 lorsque vous trouvez le billet (zéro dans le cas contraire), voilà une petite fonction sous R qui fait le job :

monty.hall = function() {
 v <- 1:3
 init <- sample(v, 1)
 play <- sample(v, 1)
 orga <- sample(v[-c(init, play)], 1)
 keep <- as.integer(init == play)
 swth <- as.integer(! keep)
 c(keep, swth)
}

Reste à tester ça un million de fois pour voir quelle est la meilleure stratégie :

n <- 1e6
res <- replicate(n, monty.hall())
rowSums(res)/n

Vu ?