Aux sources de Pi

Le nombre Pi ($\pi$), par définition, c’est le rapport entre la circonférence d’un cercle ($C$) et son diamètre ($D$) :

$$\pi = \frac{C}{D}$$

… et c’est aussi le rapport de l’aire d’un disque ($A$) sur le carré de son rayon ($r$) :

$$\pi = \frac{A}{r^2}$$

Mais qui donc a découvert le truc en premier ?

Considérations préalables

Pour répondre à cette question, il faut d’abord nous entendre sur ce que signifie « connaitre $\pi$ ». Il se trouve que $\pi$ est un nombre irrationnel [1]. Ça signifie qu’on ne peut pas l’écrire sous forme de fraction de nombres entiers [2] et ça implique qu’il a un nombre infini de décimales qui ne se répètent pas de façon régulière. Concrètement, voici la partie entière suivie des cent premières décimales de $\pi$ [3] :

3.
14159265358979323846264338327950288419716939937510
58209749445923078164062862089986280348253421170679...

En conséquence de quoi, si par « connaitre $\pi$ » vous entendez « connaitre la valeur exacte de $\pi$ » la réponse à notre question est « personne ». Aux dernières nouvelles, on en est à $2\times10^{15}$ décimales [4] ce qui, pour toutes les applications concrètes que vous pourrez imaginer, ne sert rigoureusement à rien. Typiquement, ma version d’Excel ne me propose que 14 décimales mais, appliqué au calcul de la circonférence d’un cercle d’une année-lumière de diamètre, ça ne me donnerait une erreur de l’ordre de 28 mètres — j’y survivrai — et on estime que 39 décimales suffiraient à calculer la circonférence de l’univers connu à l’atome près [5].

En réalité, pour « connaitre $\pi$ », il suffit d’avoir conscience de son existence. C’est-à-dire que le simple fait de savoir qu’il existe un rapport constant entre la circonférence d’un cercle et son diamètre ou, au choix, entre l’aire d’un disque et le carré de son rayon suffit à qualifier un découvreur. Savoir que ça fait un peu plus de 3, c’est déjà bien ; l’évaluer entre 3.12 et 3.16, c’est encore mieux ; au-delà, c’est juste un problème de calcul.

Il y a, à ma connaissance, deux façons de découvrir $\pi$. La première est empirique : c’est la conclusion à laquelle arriverait naturellement celui qui, à force de mesurer la circonférence de cercles dont il connait le diamètre, constaterait qu’il trouve toujours un peu plus de 3. C’est tout à fait faisable [6] mais, en l’absence d’instruments de mesure précis, c’est un brin incertain. L’autre façon de faire est purement théorique et ne demande rien d’autre que de savoir calculer l’aire d’un rectangle — et donc, en divisant par deux, d’un triangle rectangle.

Et à ce petit jeux là, il semble bien que les égyptiens étaient loin d'être mauvais.

La méthode d’Ahmose

En 1858, Alexander Henry Rhind, juriste et par ailleurs égyptologue écossais, fait l’acquisition [7] d’un étrange papyrus qui va devenir notre principale source d’information sur les compétences mathématiques des égyptiens vers 1650 av. J.-C. C’est le papyrus de Rhind (RMP), œuvre du scribe Ahmose (a.k.a. Âhmès) qui informe lui-même le lecteur qu’il se contente de recopier un document encore plus ancien. On y trouve 87 exercices corrigés qui couvrent l’essentiel des besoins des scribes de l’époque comme mesurer des champs rectangulaires, estimer le volume d’un silo à grain, résoudre quelques équations et, naturellement, calculer la pente d’une pyramide.

Or, dans le cinquantième exercice, Ahmose nous propose de calculer l’aire $A$ d’un cercle d’un diamètre $D$ de 9 khet.

Pour nous, c’est très facile :

$$A = \pi \times \left( \frac{D}{2} \right)^2 \approx 63.617 $$

Seulement voilà : la méthode proposée par notre bon scribe a de quoi surprendre. En effet, il nous propose de soustraire un neuvième du diamètre et d’élever ce qui reste au carré :

$$A \approx \left( \frac{8}{9} D \right)^2 = 64$$

Étrange n’est-ce-pas ? La méthode d’Ahmose ne ressemble à rien de ce que nous connaissons et pourtant, elle donne un résultat tout à fait acceptable et ce, quel que soit le diamètre : vous obtenez toujours une aire surestimée d’à peine 0.6%.

Comment en sont-ils arrivés à ce résultat ? Évidemment, on en sait rien mais l’hypothèse qui me semble la plus plausible est celle qui nous est proposée par Richard Gillings, via Jason Dyer : en substance, ils sont passés par un octogone irrégulier.

Considérez la figure suivante :

Octogone irrégulier

Nos amis égyptiens, qui étaient loin d’être manchots, avaient observé qu’on pouvait inscrire une cercle de 9 de diamètre dans un carré de 9 de côté et ils avaient aussi noté qu’en rognant les coins proprement, on obtient un octogone irrégulier qui approche raisonnablement bien notre cercle.

Ce qui nous fait donc un carré de 81 khet-carrés duquel il faut soustraire 18 petits carrés de 1 khet-carré pour approcher l’aire de notre cercle. Ce qui nous donne 63 khet-carrés.

De là, deux considérations. D’abord, 63, du point de vue d’un égyptien, ça n’est pas pratique du tout parce qu’en calculer la racine carrée, quand on ne maîtrise pas les notations décimales [8], c’est un cauchemar. Ensuite, on voit bien que cette approximation conduit à sous-estimer l’aire réelle de notre cercle : on en enlève plus sur les coins que ce qu’on en rajoute sur les côtés.

C’est-à-dire que, quitte à faire des estimations, on pourrait tout aussi bien n’enlever que 17 petits carrés de 1 khet-carré plutôt que 18 : il nous reste alors 64 khet-carrés. La racine carrée de 64 c’est 8 ; ce qui correspond bien à la méthode préconisée par Ahmose.

Notez qu’on peut aussi bien arriver à ce genre de conclusions en procédant comme ça :

Plus précis

Sur 324 carrés je dois en enlever 70 ce qui m’en laisse 254. Encore une fois, ça n’est pas très pratique mais avec $16\times16=256$ je m’en sors tout à fait honorablement et constate non sans plaisir que 16 c’est bien $8/9\times18$.

Tout porte à croire qu’ils ont suivi ce genre de raisonnement et c’est d’autant plus tentant que, dans l’exercice 48 où Ahmose nous propose de comparer l’aire d’un cercle de 9 de diamètre à celle d’un carré de 9 de côté, il trouve $64/81$ et agrémente son résultat d’un petit dessin :

Cercle ou octogone ?

Mais au fond, peu importe le chemin qu’ils ont suivi pour y parvenir, nos égyptiens de 1650 ans av. J.-C. (et sans doute avant) appliquent une méthode qui, en notant $r$ pour le rayon d’un cercle, revient à faire :

$$A \approx \frac{256}{81} r^2$$

Or, mais vous l’aviez deviné, $256/81 \approx 3.16$.

Alors non, effectivement, ils n’utilisaient pas explicitement une constante par laquelle ils multipliaient le carré du rayon pour obtenir l’aire d’un cercle mais, et c’est absolument remarquable, ils passaient par une méthode [9] qui revient exactement au même. On peut donc, je crois, dire qu’ils connaissaient $\pi$ ce qui, naturellement, ne signifie pas qu’ils étaient les seuls ni même les premiers. Je dis ça parce que, dans la grande aventure de la découverte de $\pi$, les mésopotamiens [10] sont de très sérieux concurrents.

La trentième constante

En 1936, lors des fouilles de la ville royale de Suse dans l’actuel Iran, l’archéologue Roland de Mecquenem va découvrir une série de tablettes d’argiles tout à fait remarquables qui, pour des raisons que je vous laisse deviner, ne seront sérieusement étudiées [11] qu’à partir de 1950. Datées d’à peu près la même époque que le papyrus de Rhind, ces tablettes vont jeter un nouvel éclairage sur ce qu’on pensait savoir des mathématiciens mésopotamiens : on les savait bons mais on découvre à cette occasion qu’ils étaient encore meilleurs que ce qu’on pensait.

En substance et je paraphrase ici les conclusions du professeur Bruins : on avait affaire à de purs théoriciens, des gens qui faisaient « de la science pour la science » et qui avaient acquis des compétences géométriques — notamment en matière de polygones réguliers — qui les plaçaient au niveau qu’atteindront les philosophes grecs un bon millénaire plus tard.

Une tablette, en particulier, nous intéresse : c’est la tablette I qui constitue une sorte de répertoire de 70 constantes mathématiques dont 36 pour des figures géométriques.

Dès les trois premières lignes, l’auteur inconnu de ce document nous propose ce qu’il appelle les « constantes du cercle » ; en l’occurrence, trois chiffres donnés en écriture cunéiforme : 5, 20 et 10. Naturellement, pour nous qui sommes habitués au système décimal (en base 10), ces chiffres n’évoquent rien. C’est l’occasion d’introduire ici la grande spécificité du système de numération mésopotamien : c’est un système sexagésimal (en base 60) qui se trouve par ailleurs être le premier système positionnel [12] de l’histoire. C’est-à-dire que nos « constantes du cercle » se lisent :

$$\frac{5}{60}, \frac{20}{60}, \frac{10}{60}$$

Or, si vous considérez un cercle de circonférence $C=1$ et utilisez $\pi=3$, ces trois constantes donnent respectivement l’aire ($C^2/4\pi$), le diamètre ($C/\pi$) et le rayon ($C/2\pi$) de votre cercle.

Évidemment, ça fait beaucoup de « si » et on peut à bon droit s’interroger sur cette interprétation. Sauf que la tablette YBC 7302 de la Yale Babylonian Collection confirme que c’est bien comme ça que les mésopotamiens envisageaient le problème. Voici à quoi ça ressemble :

YBC 7302

On voit distinctement notre disque avec, en écriture cunéiforme, les chiffres 3 en haut (c’est la circonférence $C$), 9 à droite (c’est juste $C^2$) et, au centre, le chiffre 45 — c’est-à-dire $45/60=0.75$ — qui nous donne bien l’aire du disque ($A$) surestimée d’environ 4.7%. C’est-à-dire que nos mésopotamiens « connaissent $\pi$ » et l’approche grossièrement avec 3.

Mais cette fameuse tablette I laisse à penser qu’ils étaient capable de bien mieux que ça. Après quelques variations sur le thème du cercle l’auteur s’attaque (constantes 26, 27 et 28) à l’aire de polygones réguliers avec un côté de 1 ; dans l’ordre : sa « constante du pentagone » est correcte à -3.1% près, celle de l’hexagone est juste à +1% et celle de heptagone est exacte à +1.4%. Ensuite, il enchaîne avec la hauteur d’un triangle équilatéral de 1 de côté (constante 29) : il annonce 52.30 en notation sexagésimale ce qui est correct à 1%. Enfin, et j’arrête là, il nous propose une « constante de la diagonale du carré » de côté 1 (constante 31) — c’est-à-dire, l’air de rien, $\sqrt{2}$ — qu’il estime à 1.25 (soit $17/12 \approx 1.417$) soit un résultat surestimé d’à peine 0.2%.

Or, il y a au moins trois raisons de penser que cette table de constantes n’est qu’un simple pense-bête destiné à simplifier les calculs ou, pour dire les choses autrement, qu’ils étaient capables de bien plus de précision quand ça s’avérait nécessaire.

Primo, sur la la tablette YBC 7289 qui lui est dédiée, ils estiment $\sqrt{2}$ à 1.24.51.10 soit 1.1042130 en base 10, une valeur exacte à 6 décimales près : preuve que quand ils voulaient, ils pouvaient. Deuxio, des mathématiciens capables d’estimer la surface d’un hexagone régulier de diamètre 1 ne peuvent pas ignorer que ce même hexagone a un périmètre de 3 et que la circonférence du cercle dans lequel cet hexagone est inscrit est nécessairement supérieure à 3 : donc ils savaient que leur estimation de $\pi$ était en deçà de la réalité. Tertio, nous n’avons pas encore parlé de la trentième constante.

C’est la « constante du cycle » (cercle plus parfait) pour laquelle le scribe annonce 57.36 (soit $24/25=0.96$). J’imagine volontiers les abîmes de perplexité dans lesquels ce chiffre peut plonger le lecteur qui le considère isolément du reste. Mais si vous le regardez à la lumière de ce que j’ai dit plus haut, ça saute aux yeux : c’est un facteur d’ajustement ; pour dire les choses simplement, ils ont rempli les vides autour de l’hexagone [13] :

Plus grand que 3

C’est-à-dire que, pour un « cercle plus parfait », il ne faut pas utiliser $\pi=3$ mais :

$$\pi = \frac{3}{24/25} = 3.125$$

Nous voilà donc bien avec une constante qui, même si elle n’était peut-être pas utilisée comme telle, aurait eu bien du mal à échapper à l’auteur de la tablette I. On ne sait pas comment ils y sont arrivés mais, si c’est bien par des polygones réguliers inscrits dans le cercle, ils étaient sur une voie prometteuse [14] qui aurait pu tout aussi bien déboucher sur les méthodes d’encadrement utilisées par Archimède.

Conclusion

On peut donc dire qu’aux environs de l’an 1600 av. J.-C. et sans doute plus tôt que ça encore, les lettrés égyptiens et mésopotamiens disposaient de bonnes approximations de $\pi$ qui, vous l’avez remarqué, encadrent sa vraie valeur à plus ou moins 0.02 près. C’est-à-dire qu’à l’époque, la meilleure méthode consistait à prendre leurs résultats respectifs et à en faire la moyenne.

Ce qui est absolument remarquable, c’est qu’ils y arrivent probablement par deux méthodes différentes. Les égyptiens, en bons ingénieurs, approchent le cercle de façon empirique en passant par un polygone irrégulier tandis que les mésopotamiens, théoriciens dans l’âme, exploitent leur maitrise des polygones réguliers. C’est-à-dire qu’ils sont sans doute arrivés à leurs résultats respectifs de façons indépendantes.

C’est un leitmotiv de l’histoire des sciences comme en témoignent, en maths, la controverse Newton—Leibniz ou, en économie, la révolution marginaliste. Nous construisons tous sur les épaules des géants qui nous ont précédés et, chemin faisant, il arrive fréquemment que des influences communes produisent les mêmes résultats. C’est peut-être aussi ce qui s’est passé avec $\pi$ : après tout, les années de 12 mois et les journées de 12 heures, utilisées en Égypte comme en Mésopotamie, ont sans doute quelque chose à voir avec l’héritage sumérien [15].

À ce propos, il est frappant de constater que les théories les plus intéressantes qui me soient tombées sous la main aient été développées par des amateurs éclairés puis publiées en accès libre sur leurs blogs respectifs. C’est d’autant plus frappant que, lorsqu’on cherche des publications d’archéologues professionnels on ne trouve, à peu de choses près, rien. Je crains que cette tour d’ivoire dans laquelle tend à s’enfermer le monde académique ne soit pas une bonne chose : aurait-on pu découvrir $\pi$ en se comportant comme ça ?

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[1] Même si d’autres mathématiciens ont pu en avoir l’intuition (peut-être Aryabhata vers 500 ou Muhammad al-Khwarizmi entre 813-833), la première démonstration formelle est de Jean-Henri Lambert en 1761.
[2] Il n’existe que des valeurs approchées comme les deux bornes proposées par Archimède ($223/71 < \pi < 22/7$ ou la remarquable approximation de Zu Chongzhi ($355/113$).
[3] Détail amusant : à partir de la 762ème décimales, on trouve une séquence de six 9 consécutifs.
[4] En septembre 2010, Nicholas Sze (Yahoo!) a fait tourner 1 000 ordinateurs pendant 23 jours pour obtenir ce résultat et découvrir que la $2\times10^{15}$ème décimale de $\pi$ est $0$.
[5] Jörg Arndt et Christoph Haenel, $\pi$ Unleashed (2006).
[6] Plantez un bâton, attachez-y une corde dont vous connaissez la longueur, tournez en creusant un sillon et mesurez-en la longueur avec une autre corde.
[7] Il est probablement issu de fouilles illégales dans les ruines d’un petit bâtiment à côté du Ramesseum.
[8] Ils utilisent un système de numération additionnel (un peu comme celui des grecs et des romains) et tout ce qui est inférieur à l’unité est exprimé sous forme de fraction.
[9] Notez, c’est amusant, qu’ils calculent des aires et même des volumes de silos à grain cylindriques mais — à ma connaissance — pas la moindre circonférence : de là à y voir la volonté de régler d’éventuels litiges commerciaux ou fiscaux…
[10] On lit souvent babyloniens. De fait, Babylone a longtemps été la plus importante cité du monde mésopotamien et même du monde tout court. Néanmoins, réduire l’extraordinaire civilisation mésopotamienne à la seule Babylone est un raccourci auquel je me refuse ; c’est ignorer l’importance de cités remarquables comme Uruk, Ur, Ninive, Nippur et j’en passe.
[11] Elle ont été traduites par Marguerite Rutten, du Musée du Louvre et interprétées par le professeur Evert Marie Bruins, spécialiste de l’histoire des mathématiques de l’Université d’Amsterdam.
[12] C’est-à-dire, sans rentrer dans les détails, que 5 peut signifier $5$ mais aussi, en fonction du contexte, $5\times60^2 = 18000$, $5\times60 = 300$, $5/60 \approx 0.083$, $5/60^2 \approx 0.001$ etc. Ce n’est que plus tard qu’ils auront l’excellente idée d’ajouter des points pour lever l’ambigüité ; et ce sont ces mêmes points qui, beaucoup plus tard, seront transformés en $0$ par les mathématiciens arabes.
[13] Les plus courageux pourront accompagner Jean Brette dans sa Promenade mathématique en Mésopotamie pour une découvrir comment ils sont peut-être arrivés à ce résultat.
[14] Notez que ça demande un peu de travail : avec un 360-gone de diamètre 1, on arrive à 3.141553.
[15] Qui, semble-t-il, utilisaient un système duodécimal (base 12) dont les origines étaient sans doute aussi pratiques (douze phalanges sur quatre doigts) que mystiques (les cycles de Jupiter).

--- Une très courte biblio

J’ai lu un bon paquet de choses pour écrire cet article mais peu ne se sont révélées aussi utiles que le blog de Jason Dyer (notamment On the Ancient Egyptian Value for Pi et On the Ancient Babylonian Value for Pi) ainsi que la très instructive Promenade mathématique en Mésopotamie de Jean Brette.

--- Quelques notes complémentaires

Dans I Rois 7, 23 : « Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coudées d’un bord à l’autre, une forme entièrement ronde, cinq coudées de hauteur, et une circonférence que mesurait un cordon de trente coudées. » Un cercle de 10 de diamètre aurait donc une circonférence de 30...

Le Shatapatha Brahmana (8-6ème siècle av. J.-C.) : $339/108 \approx 3.1389$.

Archimèdes de Syracuse (287 — 212 av. J.-C.) : $223/71 < \pi < 22/7$ ($3.1408 < \pi < 3.1429$)

Claude Ptolémée (90 — 168 apr. J.-C.) : $1131/360 \approx 3.1417$

Zu Chongzhi (429 — 500 apr. J.-C.) : $355/113 \approx 3.1416$

Autre démonstration mathématique des mésopotamiens avec la tablette Plimpton 322.

Reproduction de la tablette I